Ptolemy Harmonics 3.9

Πῶς τὰ τοῦ ἡρμοσμένου σύμφωνα καὶ διάφωνα ὁμοίως ἔχει τοῖς ν τῷ ζῳδιακῷ.

Πάλιν δὲ καθάπερ αἱ τῶν μελῶν συμφωνίαι μέχρι τῆς εἰς τέσσαρα τομῆς ἵστανται διὰ τὸ τὴν μὲν μεγίστην καὶ δὶς διὰ πασῶν τετραπλάσιον ἔχειν τὸν μείζονα τοῦ ἐλάττονος, τὴν δὲ ἐλαχίστην καὶ διὰ τεσσάρων τὸν μείζονα ποιεῖν τῷ τετάρτῳ ἑαυτοῦ μέρει ὑπερέχοντα τοῦ ἐλάττονος, τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ τὰς ἐν τῷ ζῳδιακῷ κατανενοημένας συμφώνους καὶ δραστικὰς στάσεις ἀπαρτίζουσιν οἱ μέχρι τῶν εἰς τέσσαρα τοῦ κύκλου μερισμοί. ἐὰν γὰρ ἐκθώμεθα κύκλον τὸν ΑΒ καὶ διέλωμεν αὐτὸν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου, οἷον τοῦ Α, εἰς μὲν δύο ἴσα τῇ ΑΒ, εἰς δὲ τρία ἴσα τῇ ΑΓ, εἰς δὲ τέσσαρα ἴσα τῇ ΑΔ, εἰς δὲ ἓξ ἴσα τῇ ΓΒ, ἡ μὲν ΑΒ περιφέρεια ποιήσει τὴν διάμετρον στάσιν, ἡ δὲ ΑΔ τὴν τετράγωνον, ἡ δὲ ΑΓ τὴν τρίγωνον, ἡ δὲ ΓΒ τὴν ἑξάγωνον. καὶ περιέξουσιν οἱ λόγοι τῶν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου, τουτέστι πάλιν τοῦ Α, λαμβανομένων περιφερειῶν, τούς τε τῶν ὁμοφώνων καὶ τοὺς τῶν συμφώνων καὶ ἔτι τὸν τονιαῖον, ὡς ἐξέσται σκοπεῖν ὑποθεμένοις τὸν κύκλον τμημάτων ιβʹ, διὰ τὸ πρῶτον εἶναι τὸν ἀριθμὸν τοῦτον τῶν ἥμισυ καὶ τρίτον καὶ τέταρτον ἐχόντων μέρος. ἔσται γὰρ τῶν αὐτῶν ἡ μὲν ΑΒΔ περιφέρεια θʹ, ἡ δὲ ΑΒΓ περιφέρεια ηʹ, καὶ πάλιν τὸ μὲν ΑΒ ἡμικύκλιον Ϛʹ, ἡ δὲ ΑΔΓ περιφέρεια δʹ, ἡ δὲ ΑΔ περιφέρεια γʹ. καὶ ποιήσει τὰ τμήματα τὸν μὲν διπλάσιον λόγον τοῦ πρώτου τῶν ὁμοφώνων, τουτέστι τοῦ διὰ πασῶν τριχῶς: τά τε τοῦ ὅλου κύκλου ιβʹ πρὸς τὰ Ϛʹ τοῦ ἡμικυκλίου, καὶ τὰ τῆς ΑΒΓ περιφερείας ηʹ πρὸς τὰ δʹ τῆς ΑΓ, καὶ τὰ Ϛʹ τῆς ΑΓΒ πρὸς τὰ γʹ τῆς ΑΔ. τὸν δὲ ἡμιόλιον λόγον τῆς μείζονος τῶν πρώτων συμφωνιῶν, τουτέστι τῆς διὰ πέντε, πάλιν τριχῶς: τά τε τοῦ ὅλου κύκλου ιβʹ πρὸς τὰ ηʹ τῆς ΑΒΓ περιφερείας, καὶ τὰ θʹ τῆς ΑΒΔ περιφερείας πρὸς τὰ Ϛʹ τῆς ΑΒ, καὶ τὰ Ϛʹ τῆς ΑΒ περιφερείας πρὸς τὰ δʹ τῆς ΑΓ. τὸν δὲ ἐπίτριτον τῆς ἐλάττονος τῶν πρώτων συμφωνιῶν, τουτέστι τῆς διὰ τεσσάρων, κατὰ τὰ αὐτὰ τριχῶς: τά τε τοῦ ὅλου κύκλου ιβʹ πρὸς τὰ θʹ τῆς ΑΒΔ περιφερείας, καὶ τὰ ηʹ τῆς ΑΒΓ περιφερείας πρὸς τὰ Ϛʹ τῆς ΑΒ, καὶ τὰ δʹ τῆς ΑΓ περιφερείας πρὸς τὰ γʹ τῆς ΑΔ. ἔτι δὲ καὶ τὸν μὲν τριπλάσιον λόγον τῆς διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε συμφωνίας ποιήσει διχῶς: τά τε τοῦ ὅλου κύκλου ιβʹ πρὸς τὰ δʹ τῆς ΑΓ περιφερείας, καὶ τὰ θʹ τῆς ΑΒΔ περιφερείας πρὸς τὰ γʹ τῆς ΑΔ. τὸν δὲ τετραπλάσιον τοῦ δὶς διὰ πασῶν ὁμοφώνου μοναχῶς: τὰ τοῦ ὅλου κύκλου ιβʹ πρὸς τὰ γʹ τῆς ΑΔ περιφερείας. τὸν δὲ ὡς ηʹ πρὸς τὰ γʹ τῆς διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων συμφωνίας μοναχῶς: τὰ ηʹ τῆς ΑΒΓ περιφερείας πρὸς τὰ γʹ τῆς ΑΔ. τὸν δὲ ἐπόγδοον τοῦ τόνου πάλιν μοναχῶς: τὰ θʹ τῆς ΑΒΔ περιφερείας πρὸς τὰ ηʹ τῆς ΑΒΓ. ὡς ἔχουσιν αἱ τῶν παρακειμένων ἀριθμῶν ἐν τῇ καταγραφῇ διαφοραί. Τάσσοιτο δ’ ἂν καὶ ἐκ τῶν αὐτῶν καὶ ἡ μὲν διὰ πέντε τῶν πρώτων συμφωνιῶν κατὰ τὴν τρίγωνον στάσιν, ἡ δὲ διὰ τεσσάρων κατὰ τὴν τετράγωνον καὶ ὁ τόνος κατὰ τὸ δωδεκατημόριον. διότι καὶ ὁ μὲν κύκλος πρὸς τὸ ΑΒ ἡμικύκλιον ποιεῖ τὸν διπλάσιον λόγον, τοῦτο δὲ πρὸς τὴν ΑΓ τοῦ τριγώνου περιφέρειαν ποιεῖ τὸν ἡμικύκλιον, αὕτη δὲ πρὸς τὴν ΑΔ τοῦ τετραγώνου περιφέρειαν τὸν ἐπίτριτον, ὑπεροχὴ δ’ αὐτῶν ἐστι καὶ κατὰ τὸν τόνον ἡ ΓΔ περιφέρεια, δωδεκατημόριον περιέχουσα τοῦ κύκλου. καὶ κατ’ εἰκότα λόγον ἄρα δωδεκαμερῆ τὸν τῶν ζῳδίων κύκλον συνεστήσατο ἡ φύσις, ὅτι καὶ τὸ δὶς διὰ πασῶν τέλειον σύστημα δώδεκα τόνων ἔγγιστα τό τε τονιαῖον ἐφήρμοζε τῷ δωδεκάτῳ τοῦ κύκλου. θαυμασίως δὲ καὶ τὰ μὲν δι’ ἑνὸς δωδεκατημορίου σημεῖα τῶν ἐν τῷ ζῳδιακῷ σύμφωνα μὲν οὐκ ἔστιν, ἀλλὰ μόνον ἐν τῷ τῶν ἐμμελῶν γένει, τὰ δὲ διὰ πέντε δωδεκατημορίων τοὐναντίον ἐν τῷ τῶν ἐκμελῶν: ἀσύνδετά γε καὶ καλούμενα καὶ ὄντα τῇ δυνάμει. διότι πρὸς μὲν τὰς γινομένας δύο περιφερείας ὑπὸ τῆς τὸ δωδεκατημόριον ὑποτεινούσης εὐθείας ποιεῖ λόγους ὁ κύκλος τοὺς τῶν ιβʹ πρὸς τὸ αʹ ἢ τὰ ιαʹ, τῶν μὲν συμφώνων ἀλλοτρίους ὄντας, τῶν δὲ ἐμμελῶν οὐκέτι. πρὸς δὲ τὰς γινομένας δύο περιφερείας ἐκ τῆς τὰ πέντε δωδεκατημόρια ὑποτεινούσης εὐθείας τοὺς τῶν ιβʹ πρὸς τὰ εʹ ἢ τὰ ζʹ, καὶ τῶν συμφώνων καὶ τῶν ἐμμελῶν ἀλλοτρίους ὄντας, διὰ τὸ μὴ ἐπιμόριον ἢ πολλαπλάσιον ἑκάτερον εἶναι, μήτε σύνθετον ἔκ τινων οἰκείων συμφωνίαις. ἀπολαμβάνεται δ’ ἔτι πρὸς ἅπασι τοῖς ἐφηρμοσμένοις διὰ τῶν δωδεκατημορίων τοῦ κύκλου σημείων τετραγώνων μὲν εἴδη τρία μόνα, τοῖς τῆς διὰ τεσσάρων συμφωνίας ἰσάριθμα, τριγώνων δὲ τέσσαρα μόνα, τοῖς τῆς διὰ πέντε συμφωνίας ἰσάριθμα, διὰ τὸ καὶ μόναις ταύταις τῶν συμφωνιῶν ἀσυνθέτοις εἶναι συμβεβηκέναι.

Contentsprevious: 3.8next: 3.10