Ptolemy Harmonics 2.8

Ὅτι τῷ διὰ πασῶν ὁρίζεσθαι δεῖ τοὺς ἄκρους τῶν τόνων.

Ἔστω τοίνυν ἡ πρώτη καὶ κυριωτάτη τῆς κατὰ τὸ ἡρμοσμένον ὁμοιότητος ἀποκατάστασις ἐν τῷ πρώτῳ πάλιν τῶν ὁμοφώνων, τουτέστι τῷ διὰ πασῶν, τῶν περιεχόντων αὐτὸ φθόγγων ὡς ἐπεδείξαμεν ἀδιαφορούντων ἑνός. καὶ ὥσπερ αἱ συντιθέμεναι μετ’ αὐτοῦ τῶν συμφωνιῶν τοῦτο ποιοῦσιν, ὅπερ ἂν ἐποίουν, εἰ καὶ καθ’ αὑτὰς ἦσαν, οὕτως καὶ τῶν μελῶν ἕκαστον ἐπὶ μόνης τῆς κατὰ τὸ πρῶτον ὁμόφωνον διαστάσεως ἢ τῆς ἀπ’ αὐτοῦ συντιθεμένης δύναται τὴν ἀρχὴν λαβὼν ἀφ’ ἑκατέρου τῶν ἄκρων φθόγγων ὁμοίως διεκδραμεῖν. διὸ κἀν ταῖς τῶν τόνων μεθαρμογαῖς, ὅταν τὸν τῷ διὰ πασῶν ὀξύτερον ἢ βαρύτερον θελήσωμεν μεταλαβεῖν, οὐδένα κινοῦμεν τῶν φθόγγων ἀεί τινας κινοῦντες ἐν ταῖς λοιπαῖς, ἀλλ’ αὐτός τε ὁ τόνος ὁ αὐτὸς γίνεται τῷ ἐξαρχῆς. καὶ πάλιν ἀκολούθως ὁ μὲν κατὰ τὸ διὰ τεσσάρων τοῦ ἐξαρχῆς διαφέρων τῷ κατὰ τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων διαφέροντι τοῦ αὐτοῦ, ὁ δὲ κατὰ τὸ διὰ πέντε τοῦ ἐξαρχῆς διαφέρων τῷ κατὰ τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε διαφέροντι τοῦ αὐτοῦ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως. ὡς οἱ μὲν ἐνδοτέρω τοῦ διὰ πασῶν ἀφορίζοντες τοὺς ἄκρους τῶν τόνων οὐκ ἂν εἶεν ἀποκαθεστηκότες τὸ ἡρμοσμένον ἔσται γάρ τις ὑπὲρ αὐτοὺς ἀνόμοιος ἅπασι τοῖς πρώτοις οἱ δὲ ὑπερεκπίπτοντες τοῦ διὰ πασῶν τοὺς ἀπ’ αὐτοῦ τοῦ διὰ πασῶν ἀπωτέρω παρελκόντως ὑποτίθενται, τοὺς αὐτοὺς ἀεὶ γινομένους τοῖς προειλημμένοις, τουτέστι τὸν μὲν διὰ πασῶν τῷ ἐξαρχῆς, τοὺς δὲ ἴσον ἀπέχοντας τοῦ διὰ πασῶν τοῖς ἴσον ἀπέχουσιν ἐπὶ τὰ αὐτὰ τοῦ ἐξαρχῆς. οὐ δεόντως οὖν οὐδὲ οἱ μέχρι μόνου τοῦ διὰ πασῶν προελθόντες συγκαταριθμοῦσι τοῖς τόνοις τὸν τῷ ἐξαρχῆς διὰ πασῶν. ταὐτὸν γὰρ φανήσονται πεπονθότες τοῖς ὑπερβαίνουσι τὸν ἐκκείμενον ὅρον, πλὴν καθ’ ὅσον οὗτοι μὲν ἐφ’ ἑνός, ἐκεῖνοι δὲ ἐπὶ πλειόνων, ὥστε δικαίως ἂν αὐτοῖς ὑπαντηθῆναι παρὰ τῶν ἐπιτιμωμένων, ὡς τὴν ἀρχὴν καὶ τὴν αἰτίαν παρασχοῦσι τῆς ὑπερβολῆς. εἰ γὰρ ἅπαξ λαμβάνεταί τις ὁ αὐτὸς ἐπὶ τῶν προκειμένων ὡς ὁ διὰ πασῶν τῷ ἐξαρχῆς, τί κωλύει, φήσαιεν ἄν, προστίθεσθαι καὶ τοὺς τοῖς λοιποῖς ἑξῆς ὄντας ἀνάλογον; καίτοι γε τοῦ μὴ δεῖν τῷ πλήθει τῶν ὅρων τοῦ διὰ πασῶν μετρεῖσθαι τὰς ἐν αὐτῷ δυνάμεις, ἀλλὰ τῷ πλήθει τῶν συντιθέντων αὐτὸ λόγων, παράδειγμα προσφυέστατον ἔχομεν ἀπὸ τῶν ὑπ’ αὐτοῦ περιεχομένων εἰδῶν. ἑπτὰ γὰρ μόνα ταῦτα πάντες ἁπαξαπλῶς ὑποτιθέμεθα, τῶν ποιούντων αὐτὰ φθόγγων ὀκτὼ τυγχανόντων, καὶ οὐδὲ εἷς ἂν εἴποι τὸν ἀπὸ τοῦ βαρυτάτου, φέρε εἰπεῖν, ἐπὶ τὸ βαρὺ λαμβανόμενον ἕτερον εἶδος ποιεῖν τοῦ πρώτου, καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἀπὸ τοῦ ὀξυτάτου, διὰ τὸ καὶ καθόλου πᾶν ὁτιοῦν τὸ κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον ἀφ’ ἑκατέρου τῶν ἄκρων τοῦ διὰ πασῶν ἀρχόμενον τὴν αὐτὴν ἀπεργάζεσθαι δύναμιν.

Contentsprevious: 2.7next: 2.9