Ptolemy Harmonics 2.4

Περὶ συστήματος τελείου καὶ ὅτι μόνον τοιοῦτο τὸ δὶς διὰ πασῶν.

Τούτων δὴ προεκτεθειμένων σύστημα μὲν ἁπλῶς καλεῖται τὸ συγκείμενον μέγεθος ἐκ συμφωνιῶν, καθάπερ συμφωνία τὸ συγκείμενον μέγεθος ἐξ ἐμμελειῶν, καὶ ἔστιν ὥσπερ συμφωνία συμφωνιῶν τὸ σύστημα. τέλειον δὲ σύστημα λέγεται τὸ περιέχον πάσας τὰς συμφωνίας μετὰ τῶν καθ’ ἑκάστην εἰδῶν, ὅτι καὶ τέλειόν ἐστι καθόλου τὸ τὰ αὑτοῦ μέρη πάντα περιέχον. κατὰ μὲν οὖν τὸν πρῶτον ὅρον γίνεται σύστημα καὶ τὸ διὰ πασῶν ἐδόκει γοῦν αὔταρκες εἶναι τοῦτο τοῖς παλαιοῖς καὶ τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων, καὶ τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, καὶ τὸ δὶς διὰ πασῶν. ἕκαστον γὰρ αὐτῶν ὑπὸ συμφωνιῶν περιέχεται δύο ἢ πλειόνων. κατὰ δὲ τὸν δεύτερον μόνον ἂν εἴη τέλειον σύστημα τὸ δὶς διὰ πασῶν: μόνῳ γὰρ ἔνεστιν αὐτῷ τὰ σύμφωνα πάντα μετὰ τῶν ἐκκειμένων εἰδῶν. καὶ τὰ μὲν ὑπὲρ αὐτὸ πλέον οὐδὲν ἂν ἔχοι τῶν ἐν ἐκείνῳ δυνάμει λαμβανομένων, τὰ δ’ ὑπ’ αὐτὸ λείποιτ’ ἄν τισι τῶν ἐν ἐκείνῳ, ὅθεν τὸ συντιθέμενον ἐκ τοῦ διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων σύστημα τέλειον οὐ καλῶς ἔχει καλεῖν. τὰ μὲν γὰρ ἑπτὰ εἴδη τοῦ διὰ πασῶν οὐδέποτε περιέξει, τὰ δὲ τέσσαρα τοῦ διὰ πέντε οὐ πάντοτε, ἀλλ’ ὅταν μὲν οὕτως ἔχῃ θέσεως, ὥστε τὸν τόνον διαζευγνύναι τὰ συνημμένα δύο τετράχορδα τοῦ ἑνός, τὰ μὲν τέσσαρα εἴδη τοῦ διὰ πέντε περιέξει, τῶν δὲ τοῦ διὰ πασῶν ἑπτὰ μόνα τέσσαρα πάλιν, τὰ ἀφ’ ὁποτέρου τῶν ἄκρων, ὅταν δ’ οὔτως ἔχῃ θέσεως, ὥστε τὸν τόνον ἐπὶ τὸ πέρας εἶναι. καὶ τὰ τρία τετράχορδα συνημμένα ἓν μόνον εἶδος περιέξει καὶ τοῦ διὰ πέντε καὶ τοῦ διὰ πασῶν, ἢ τὸ πρῶτον ἢ τὸ ἔσχατον ἀμφοτέρων, ὡς ἐξέσται σκοπεῖν ἀπὸ τῆς προκειμένης καταγραφῆς ἐπισυνάπτουσιν αὐτῇ καθ’ ἑκάτερον τῶν περάτων ἓν ὁμοίως ἔχον τετράχορδον. ἐπὶ δέ γε τοῦ δὶς διὰ πασῶν, ὅταν ἐπὶ τὰ αὐτὰ καὶ ὁμοίως ἔχοντα τὰ δύο διὰ πασῶν συνίσταται, κατὰ πᾶσαν ἡντινοῦν τῶν διαζεύξεων ἀρχὴν τά τε τοῦ διὰ πασῶν εἴδη πάντα καὶ ἔτι τά τε τοῦ διὰ πέντε καὶ τὰ τοῦ διὰ τεσσάρων εὑρήσομεν περιειλημμένα καὶ πλέον οὐδὲν ἐν ταῖς τοῦ δὶς διὰ πασῶν ὑπερβολαῖς.

Contentsprevious: 2.3next: 2.5