Ptolemy Harmonics 2.13

Περὶ ὧν Δίδυμος ὁ μουσικὸς ἔδοξε προσποιεῖν τῷ κανόνι.

Δίδυμος δὲ ὁ μουσικὸς πειρᾶται μὲν εἰσάγειν τινὰ πρῶτος αὐτοῦ διόρθωσιν. οὐ μὴν ἐφικνεῖταί γε τοῦ δέοντος μόνῳ τῷ τῆς ὑπαγωγῆς εὐπορωτέρῳ προσβαλών, καὶ τῶν ἄλλων δυσχρήστων, ἃ διήλθομεν, πλειόνων ὄντων καὶ μειζόνων, οὐ δυνηθεὶς εὑρεῖν τινα θεραπείαν. λαμβάνει γὰρ τὰς διαστάσεις τῶν φθόγγων οὐκ ἀπὸ μόνου τοῦ ἑτέρου πέρατος, ἀλλὰ καὶ ἀπὸ τοῦ ἐναντίου κατὰ τὰς τοιαύτας μέντοι θέσεις, ἐφ’ ὅσων ἄνισά τε γίνεται πρὸς ἑκάτερα τὰ πέρατα μήκη, καὶ λόγον ἔχει ἑκάτερον πρὸς τὸ πᾶν οἰκεῖον τινὸς φθόγγου, καθάπερ ὅταν μὲν πρὸς ἄλληλα ἐν διπλασίῳ λόγῳ γίνηται τὰ δύο μέρη, πρὸς δὲ τὸ πᾶν δηλονότι τὸ μὲν μεῖζον ἐν ἡμιολίῳ κατὰ τὸ διὰ πέντε, τὸ δὲ ἔλαττον ἐν τριπλασίῳ κατὰ τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε. τοῦ γὰρ ὅλου μήκους κατὰ τὸν προσλαμβανόμενον τασσομένου τὸ μὲν μεῖζον τῶν τμημάτων, τὸ καὶ δίμοιρον αὐτοῦ, ποιήσει τὴν ὑπάτην τῶν μέσων, τὸ δὲ ἔλαττον καὶ τρίτον αὐτοῦ τὴν νήτην τῶν διεζευγμένων, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων τῶν τὸ παραπλήσιον ἐπιδεχομένων ὁμοίως. ἡ δὲ τοιαύτη προσποίησις βοηθεῖ μὲν ὁμολογουμένως τῷ κατὰ τὰς συνεχεῖς ὑπαγωγὰς ἐνδεήματι, πολλαχῇ δυναμένων τῶν ὑπαγωγέων ἐπιμένειν ἐν πλείοσι κρούσεσι κατὰ τοὺς κοινοὺς δύο φθόγγων τόπους, τῆς πληγῆς ἀντ’ αὐτῶν ἐφ’ ἑκάτερα τὰ τμήματα μεταλαμβανομένης: κατασκελεστέραν μέντοι ποιεῖ τὴν μέθοδον, ὅταν μὴ συνάπτῃ τὸ μέλος τοὺς κοινοὺς φθόγγους, ἐν τῷ διαφέρειν τοὺς τῶν αὐτῶν τόπους περὶ τὴν σκέψιν τοῦ ποτέρῳ χρηστέον, ὡς ἂν μὴ συγχωροῦντος τοῦ κατὰ τὴν κροῦσιν συνεχοῦς ὑπολογισμοῦ τινα χρόνον, ἀλλὰ προχειροτέρας ἂν ἐσομένης παρὰ τὴν τῶν πλειόνων ἐκλογὴν τῆς κατὰ τὸ ἑξῆς ἐφ’ ἕνα καὶ τὸν αὐτὸν ἀεὶ τόπον ἐπιβολῆς. καὶ περὶ τοὺς λόγους δὲ τῆς κατατομῆς οὐδέν τι προσποιεῖ τῶν φαινομένων ἐχόμενον, ἀλλὰ τρία μὲν καὶ αὐτὸς ὑφίσταται γένη, διατονικὸν καὶ χρωματικὸν καὶ ἐναρμόνιον, ποιεῖται δὲ τὰς κατατομὰς ἐπί τε μόνων τῶν δύο γενῶν, τοῦ χρωματικοῦ καὶ τοῦ διατονικοῦ, καὶ μόνου τοῦ ἀμεταβόλου συστήματος, οὐδὲ τῶν ἐν τούτοις λόγων ὑγιῶς εἰλημμένων. τοὺς γὰρ ἡγουμένους τῶν τετραχόρδων πρὸς μὲν τοὺς τρίτους ἀπ’ αὐτῶν κατὰ τὸν ἐπὶ δʹ τίθησι λόγον ἐπ’ ἀμφοτέρων τῶν γενῶν, τοὺς δὲ δευτέρους ἐν μὲν τῷ χρωματικῷ κατὰ τὸν ἐπὶ εʹ, ἐν δὲ τῷ διατονικῷ κατὰ τὸν ἐπὶ ηʹ, ὥστε καὶ τὰς μὲν ἑπομένας διαφορὰς ἐν ἀμφοτέροις γένεσι συνάγειν τὸν ἐπὶ ιεʹ λόγον, τὰς δὲ μέσας ἐν μὲν τῷ χρωματικῷ τὸν ἐπὶ κδʹ, ἐν δὲ τῷ διατονικῷ τὸν ἐπὶ θʹ παρὰ τὸ ταῖς αἰσθήσεσι φαινόμενον. ἔν τε γὰρ τῷ χρωματικῷ γένει τῶν τὸ πυκνὸν περιεχόντων λόγων τὸν ἑπόμενον λόγον μείζονα πεποίηκε τοῦ μέσου μηδαμῶς ἐμμελοῦς τοῦ τοιούτου γινομένου, κἀν τῷ διατονικῷ τὸν ἡγούμενον λόγον μείζονα τοῦ μέσου, δέον τοὐναντίον, ὡς ἔχει τὸ ἁπλοῦν διατονικὸν καὶ ἔτι τοὺς ἑπομένους λόγους τῶν δύο γενῶν ἴσους, δέον ἐλάττω τὸν τοῦ διατονικοῦ. γέγονεν οὖν αἴτιον ἅπασι τοῦ μὴ δεδοκιμασμένως προσεληλυθέναι τῇ τῶν λόγων ὑποθέσει τῷ μὴ πρότερον ἐπεσκέφθαι τὴν δι’ αὐτῶν χρῆσιν, ἀφ’ ἧς μόνης ἠδύναντο παραβάλλεσθαι ταῖς τῆς αἰσθήσεως καταλήψεσι, καὶ διὰ τοῦτο τοὺς μὲν τῶν συμφωνιῶν λόγους καὶ διὰ μιᾶς χορδῆς ἐξετάζεσθαι δυναμένους κατὰ τὸν εἰς δύο μερισμὸν ἐξειληφότες φαίνονται, τοὺς δὲ τῶν ἐμμελειῶν τῇ συνθέσει τοῦ δι’ ὅλου συστήματος μόνως ἂν θεωρηθέντας, ὅπερ οὐκ ἐνῆν ἐπὶ μιᾶς χορδῆς ἀκριβῶς ἰδεῖν, καὶ πάνυ διεψευσμένως. ἐλεγχθεῖεν γὰρ ἂν ἐναργῶς, εἴ τις κατ’ αὐτοὺς ποιοῖτο τὰς κατατομὰς ἐπὶ τῶν ἐκτεθειμένων ἡμῖν ἰσοτόνων ὀκτὼ χορδῶν, ἱκανῶν οὐσῶν ἤδη τὸν εἱρμὸν τοῦ μέλους ἐπιδεικνύναι ταῖς ἀκοαῖς, ἵνα καταμάθωσι τό τε γνήσιον καὶ τὸ μή. καὶ ἵνα γε πρόχειρος ἡμῖν ἡ παραβολὴ ᾖ τῶν τε καθ’ ἡμᾶς γενικῶν διαιρέσεων καὶ ἔτι τῶν ἄνωθεν παραδοθεισῶν, ὅσαις γοῦν ἐνετύχομεν, προεκθησόμεθα μερικήν τινα τούτων παράθεσιν ἐπὶ τοῦ μέσου καὶ δωρίου τόνου πρὸς ἔνδειξιν αὐτοῦ μόνον τῆς ἐκκειμένης διαφορᾶς. Καθόλου μέντοι κεχρήμεθα ταῖς τῶν διαιρέσεων ἐφόδοις οὐ τὸν αὐτὸν τρόπον τοῖς παλαιοτέροις, τέμνοντες καθ’ ἕκαστον φθόγγον τὸ ὅλον μῆκος εἰς τοὺς διασημαινομένους λόγους, διὰ τὸ ἐργῶδες καὶ δύσληπτον τῆς τοιαύτης καταμετρήσεως, ἀλλ’ ἐξαρχῆς τοῦ προστιθεμένου ταῖς χορδαῖς κανονίου διαιροῦντες τὸ ἀπολαμβανόμενον μῆκος ἀπὸ τοῦ κατὰ τὸ ὀξὺ πέρας ἀποψάλματος μέχρι τῆς ὑπὸ τὸν βαρύτατον φθόγγον ἐσομένης σημειώσεως εἰς ἴσα καὶ σύμμετρα τῷ μεγέθει τμήματα, καὶ παρατιθέντες αὐτοῖς τοὺς ἀπὸ τῆς πρὸς τὸ ὀξὺ πέρας ἀρχῆς ἀριθμούς, δι’ ὅσων ἂν ἐγχωρῇ μορίων, ἵνα τοὺς ἐν τοῖς οἰκείοις λόγοις συνισταμένους ἑκάστῳ τῶν φθόγγων ἀπὸ τοῦ εἰρημένου κοινοῦ πέρατος ἔχοντες ἐκτεθειμένους ὑπάγωμεν ἀεὶ προχείρως ἐπὶ τοὺς ἐκ τοῦ κανονίου διασημαινομένους τόπους τὰ ἀποψάλματα τῶν κινουμένων μαγαδίων. κἀπειδὴ τοὺς συνέχοντας ἀριθμοὺς τὰς κοινὰς τῶν γενῶν διαφορὰς εἰς μυριάδας ἐκπίπτειν συμβαίνει, μονάδων ὅλων ἀπαρτιζομένων συνεχρησάμεθα τοῖς ἐγγυτάτω μερισμοῖς μέχρι τῶν πρώτων τῆς μιᾶς μονάδος ἑξηκοστῶν, ὥστε μηδέποτε πλέον ἑνὸς ἑξηκοστοῦ τῆς ἐν τῇ κατατομῇ τοῦ κανονίου μιᾶς μοίρας διενεγκεῖν τὰς παραβολάς. ἔτι δὲ ὅπως τοῦ βαρυτέρου τῆς διαζεύξεως διὰ τεσσάρων ἡ διάστασις λʹ περιέχῃ μοίρας, ὅσας Ἀριστόξενος ὑποτίθεται, πρὸς τὸ καὶ τὰς κατ’ αὐτὸν διαιρέσεις ἐπὶ τὸ μεῖζον ἀπολαμβάνοντες τετραχόρδου τμῆμα διὰ τῶν αὐτῶν ἀριθμῶν κατανοεῖν, ρʹ μὲν καὶ κʹ τμημάτων ὑπεθέμεθα τὸ ἀπὸ τοῦ κοινοῦ πέρατος μῆκος ἐπὶ τὸν βαρύτατον φθόγγον τοῦ ὑποκειμένου διὰ πασῶν, Ϙʹ δὲ κατὰ τὸν ἐπίτριτον λόγον, τὸν ὀξύτερον αὐτοῦ τῷ διὰ τεσσάρων, ὥστε καὶ τὸν μὲν τῷ διὰ πέντε ὀξύτερον τοῦ βαρυτάτου τῶν αὐτῶν πʹ γίνεσθαι κατὰ τὸν ἡμιόλιον λόγον, τὸν δὲ ὀξύτατον τοῦ διὰ πασῶν ξʹ κατὰ τὸν διπλάσιον λόγον, τῶν μεταξὺ κινουμένων ἀκολούθως τοῖς ἑκάστου γένους λόγοις λαμβανόντων τοὺς ἀριθμούς.

Contentsprevious: 2.12next: 2.14