Ptolemy Harmonics 2.10

Πῶς ἂν ὑγιῶς λαμβάνοιντο τῶν τόνων αἱ ὑπεροχαί.

Ἐοίκασι δὲ οἱ μέχρι τῶν ὀκτὼ τόνων προελθόντες διὰ τὸν ἕνα τὸν περισσῶς τοῖς ἑπτὰ συναριθμούμενον ταῖς μὲν οἰκείαις αὐτῶν ὑπεροχαῖς ὁπωσοῦν ἐπιπεσεῖν, οὐ μέντοι κατὰ τὴν δέουσαν ἐπιβολήν. ἁπλῶς γὰρ τοὺς τρεῖς τοὺς ἀρχαιοτάτους, καλουμένους δὲ δώριον καὶ φρύγιον καὶ λύδιον παρὰ τὰς ἀφ’ ὧν ἤρξαντο ἐθνῶν ὀνομασίας, ἢ ὅπως τις ἕτερος αἰτιολογεῖν βούλεται, τόνῳ διαφέροντας ἀλλήλων ὑποθέμενοι, καὶ διὰ τοῦτο ἴσως τόνους αὐτοὺς ὀνομάσαντες, ἀπὸ τούτων ποιοῦσι πρώτην μεταβολὴν σύμφωνον ἀπὸ τοῦ βαρυτάτου τῶν τριῶν καὶ δωρίου τὴν ἐπὶ τὸ ὀξὺ διὰ τεσσάρων, προσαγορεύσαντες τοῦτον τὸν τόνον μιξολύδιον ἐκ τῆς πρὸς τὸν λύδιον ἐγγύτητος, ὅτι μηκέτι τονιαίαν ὅλην πρὸς αὐτὸν ἐποίει τὴν ὑπεροχήν, ἀλλὰ κατὰ τὸ περιλειπόμενον τοῦ διὰ τεσσάρων μέρος μετὰ τὸ ἀπὸ τοῦ δωρίου ἐπὶ τὸν λύδιον δίτονον. εἶτα ἐπειδήπερ ὑπὸ τοῦτον ἦν διὰ τεσσάρων κείμενος ὁ δώριος, ἵνα καὶ τοῖς λοιποῖς ὑποβάλωσι τοὺς διὰ τεσσάρων βαρυτέρους, τὸν μὲν ὑπὸ τὸν λύδιον ἐσόμενον ὑπολύδιον ὠνόμασαν, τὸν δὲ ὑπὸ τὸν φρύγιον ὑποφρύγιον, τὸν δὲ ὑπὸ τὸν δώριον ὑποδώριον, ᾧ τόνῳ τὸν διὰ πασῶν ἐσόμενον ἐπὶ τὸ ὀξὺ τὸν αὐτὸν ὄντα προσηγόρευσαν ὑπερμιξολύδιον ἀπὸ τοῦ συμβεβηκότος, ὡς ὑπὲρ τὸν μιξολύδιον εἰλημμένον τῷ μὲν <ὑπό> καταχρησάμενοι πρὸς τὴν ἐπὶ τὸ βαρύτερον ἔνδειξιν, τῷ δὲ <ὑπέρ> πρὸς τὴν ἐπὶ τὸ ὀξύτερον. καὶ γίνεται κατὰ τὴν τῶν πρώτων ἀκολουθίαν ὑποδωρίου μὲν πάλιν πρὸς ὑποφρύγιον ὑπεροχὴ τόνος, καὶ ὁμοίως ὑποφρυγίου πρὸς ὑπολύδιον, τούτου δὲ πρὸς τὸν δώριον ἡ τοῦ λείμματος, ὃ θέλουσι ποιεῖν ἡμιτόνιον. οὐ δεῖ δέ, ὡς ἔφαμεν, ἀπὸ τῶν ἐμμελῶν λαμβάνεσθαι τὰ σύμφωνα, τοὐναντίον δὲ ἀπὸ τούτων ἐκεῖνα, διότι τὰ σύμφωνα καὶ εὐληπτότερά ἐστι καὶ κυριώτερα πρός τε τὰ ἄλλα πάλιν καὶ πρὸς μεταβολάς. ὅπερ ἂν γένοιτο κατὰ τὸν προσήκοντα τρόπον, εἰ ὀξύτερον τόνον προθέντες, ὡς τὸν Α, λάβοιμεν πρῶτον τὸν τούτῳ διὰ τεσσάρων ἐπὶ τὸ βαρύτερον, ὡς τὸν Β, καὶ τὸν ἔτι τούτου διὰ τεσσάρων βαρύτερον ἐντός γε τοῦ διὰ πασῶν ἐλευσόμενον, ὡς τὸν Γ, εἶτα, ἐπειδήπερ ὁ τούτῳ διὰ τεσσάρων ἐπὶ τὸ βαρύτερον ὑπερπίπτει τοῦ διὰ πασῶν, τὸν ἰσοδυναμοῦντα αὐτῷ, τουτέστι τὸν ὀξύτερον τοῦ Γ τῷ διὰ πέντε λαβόντες, ὡς τὸν Δ, πάλιν αὖ τὸν τούτου βαρύτερον τῷ διὰ τεσσάρων θείημεν, ὡς τὸν Ε, καὶ ἔτι ἀντὶ μὲν τοῦ βαρυτέρου τῷ διὰ τεσσάρων τοῦ Ε, διὰ τὸ καὶ τοῦτον ὑπερπίπτειν τοῦ διὰ πασῶν, ποιήσαιμεν ὀξύτερον τοῦ Ε τῷ διὰ πέντε τὸν Ζ, τούτου δὲ πάλιν τὸν βαρύτερον τῷ διὰ τεσσάρων θείημεν τὸν Η τούτων γὰρ οὕτως εἰλημμένων αὐτόθεν ἀπὸ μὲν τῆς τοῦ διὰ τεσσάρων πρώτου συμφώνου συνεχοῦς ἐπὶ τὸ βαρὺ καθαιρέσεως, ἥτις ἐστίν, ὡς ἔφαμεν, ἡ αὐτὴ τῇ διὰ πέντε πρὸς τὸ ὀξὺ παραυξήσει, πάντως ἐξακολουθήσει τὸ τὰς μὲν τῶν ΓΕ καὶ ΗΕ καὶ τῶν ΒΔ καὶ τῶν ΔΖ ὑπεροχὰς τονιαίας συνίστασθαι, τὰς δὲ τῶν ΗΒ καὶ ΖΑ τοῦ καλουμένου λείμματος περιεκτικάς. ἐπειδὴ γὰρ ὁ Δ τόνος τοῦ μὲν Ε τῷ διὰ τεσσάρων ὀξύτερος ὑπόκειται, τοῦ δὲ Γ τῷ διὰ πέντε, τόνος ἔσται ἡ τῶν ΓΕ ὑπεροχή: ὁμοίως ἐπειδὴ ὁ Ζ τοῦ μὲν Η τῷ διὰ τεσσάρων ἐστὶν ὀξύτερος, τοῦ δὲ Ε τῷ διὰ πέντε, τόνος ἔσται καὶ ἡ τῶν ΕΗ ὑπεροχή. πάλιν ἐπεὶ ὁ Γ διτόνῳ βαρύτερός ἐστι τοῦ Η, τοῦ δὲ Β τῷ διὰ τεσσάρων, ἡ τῶν ΒΗ ὑπεροχὴ περιέξει τὸ λεῖμμα. λοιπὸν δὲ ἐπειδήπερ διὰ τεσσάρων εἰσὶν οἵ τε ΒΓ καὶ οἱ ΔΕ καὶ οἱ ΖΗ καὶ οἱ ΒΑ, ὥστε τὴν μὲν τῶν ΕΓ ὑπεροχὴν ἴσην συνίστασθαι τῇ τῶν ΔΒ, τὴν δὲ τῶν ΕΗ τῇ τῶν ΖΔ, τὴν δὲ τῶν ΒΗ τῇ τῶν ΑΖ, τονιαία μὲν ἔσται καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΒ καὶ ΖΔ, τοῦ δὲ λείμματος ἡ τῶν ΑΖ. κἂν λάβωμεν δέ τινα τῷ Γ διὰ πασῶν ἢ τῷ Α, τονιαίαν δηλονότι καὶ οὕτως ἕξει τὴν πρὸς τὸν ἐχόμενον ὑπεροχήν, διὰ τὸ τοὺς ΑΓ τὸ δὶς διὰ τεσσάρων ποιοῦντας τῷ τόνῳ λείπειν τοῦ διὰ πασῶν. Καὶ ἔστιν ὁ μὲν Α κατὰ τὸν μιξολύδιον, ὁ δὲ Ζ κατὰ τὸν λύδιον, ὁ δὲ Δ κατὰ τὸν φρύγιον, ὁ δὲ Β κατὰ τὸν δώριον, ὁ δὲ Η κατὰ τὸν ὑπολύδιον, ὁ δὲ Ε κατὰ τὸν ὑποφρύγιον, ὁ δὲ Γ κατὰ τὸν ὑποδώριον, ὥστε εὑρεθήσεσθαι τῷ λόγῳ τὰς ὁπωσοῦν παραδεδομένας αὐτῶν ὑπεροχάς.

Contentsprevious: 2.9next: 2.11