Ptolemy Harmonics 1.15.text

Φέρε τοίνυν ἐπειδήπερ οὐδὲ τούτοις ὁμολογουμένως ταῖς αἰσθήσεσι διῄρηται τὰ πρῶτα γένη τῶν τετραχόρδων, πειραθῶμεν αὐτοὶ κἀνταῦθα διασῶσαι τὸ ταῖς τῶν ἐμμελειῶν ὑποθέσεσι καὶ τοῖς φαινομένοις ἀκόλουθον ἑπόμενοι ταῖς πρώταις καὶ κατὰ φύσιν τῶν μερισμῶν ἐπιβολαῖς. προσλαμβάνομεν δὲ εἰς τὰς θέσεις καὶ τάξεις τῶν πηλικοτήτων παρὰ μὲν τῆς ἀρχῆθεν ὑποθέσεως καὶ τοῦ λόγου κοινὸν πάντων τῶν γενῶν τὸ καὶ ἐπὶ τῶν τετραχόρδων τοὺς ἐφεξῆς φθόγγους ἀεὶ πρὸς ἀλλήλους ἐπιμορίους ποιεῖν λόγους τοὺς μέχρι τῶν εἰς δύο παρίσους ἢ τρεῖς παρίσους τομῶν, αἷς ἐπεραίνοντο καὶ αἱ τῶν πρώτων συμφωνιῶν ὑπεροχαὶ καὶ μέχρι τῆς τριάδος φθάνουσαι κἀκεῖ διὰ τὸ συντελεστικὸν αὐτῆς πασῶν τῶν διαστάσεων. ἀπὸ γὰρ τοῦ διὰ πασῶν ὁμοφώνου καὶ τοῦ διπλασίου λόγου, καθ’ ὃν ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἄκρων ἴση συνειστήκει τῷ ὑπερεχομένῳ, ἐπὶ μὲν τὴν ἀπὸ τοῦ ἴσου καθαίρεσιν ὅ τε ἡμιόλιος ἐλαμβάνετο λόγος τῆς διὰ πέντε συμφωνίας, καθ’ ὃν ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἄκρων ἥμισυ περιέχει μέρος τοῦ ὑπερεχομένου, καὶ ὁ ἐπίτριτος τῆς διὰ τεσσάρων συμφωνίας, καθ’ ὃν ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἄκρων τρίτον περιέχει μέρος τοῦ ὑπερεχομένου, ἐπὶ δὲ τὴν ἀπὸ τῆς ἰσότητος αὔξησιν ὅ τε τριπλάσιος λόγος ἐλαμβάνετο τῆς διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε συμφωνίας, καθ’ ὃν ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἄκρων δύο ποιεῖ τοὺς ὑπερεχομένους ἐν ἀντιθέσει τοῦ ἡμίσεος μέρους, καὶ ὁ τετραπλάσιος τοῦ δὶς διὰ πασῶν ὁμοφώνου, καθ’ ὃν ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἄκρων τρεῖς ποιεῖ τοὺς ὑπερεχομένους ἐν ἀντιθέσει πάλιν τοῦ τρίτου μέρους. παρὰ δὲ τῆς ὁμολογουμένης αἰσθήσεως κοινὸν μὲν ὁμοίως πάντων τῶν γενῶν λαμβανόμεθα τὸ τὰ ἑπόμενα τῶν τριῶν μεγεθῶν ἐλάττονα συνίστασθαι τῶν λοιπῶν ἑκατέρου, ἴδια δὲ τῶν μὲν τὸ πυκνὸν ἐχόντων τὸ τὰ πρὸς τῷ βαρυτάτῳ δύο συναμφότερα ἐλάττονα γίνεσθαι τοῦ πρὸς τῷ ὀξυτάτῳ, τῶν δὲ ἀπύκνων τὸ μηδὲν τῶν μεγεθῶν μεῖζον καθίστασθαι τῶν λοιπῶν δύο συναμφοτέρων. τούτων οὖν ὑποκειμένων διαιροῦμεν πρῶτον τὸν ἐπίτριτον λόγον τῆς διὰ τεσσάρων συμφωνίας, ὁσάκις ἔνεστιν, εἰς ἐπιμορίους λόγους δύο: τρὶς δὲ γίνεται μόνως πάλιν καὶ τὸ τοιοῦτο, προσλαμβανομένων τῶν ὑπ’ αὐτὸν τριῶν ἐφεξῆς ἐπιμορίων, τοῦ τε ἐπὶ δʹ καὶ τοῦ ἐπὶ εʹ καὶ τοῦ ἐπὶ Ϛʹ. συμπληροῖ γὰρ τὸν ἐπίτριτον τῷ μὲν ἐπὶ δʹ προστεθεὶς ὁ ἐπὶ ιεʹ, τῷ δὲ ἐπὶ εʹ ὁ ἐπὶ θʹ, τῷ δὲ ἐπὶ Ϛʹ ὁ ἐπὶ ζʹ καὶ μετὰ τούτους δύο μόνοις ἄλλοις ἐπιμορίοις οὐκ ἂν εὕροιμεν συντιθέμενον τὸν ἐπὶ γʹ λόγον. Ἐπὶ μέντοι τῶν τὸ πυκνὸν περιεχόντων γενῶν, ἐπειδὴ μείζους εἰσὶν ἐν αὐτοῖς οἱ ἡγούμενοι λόγοι συναμφοτέρων τῶν λοιπῶν, τοὺς μὲν μείζονας λόγους τῶν ἐκκειμένων συζυγιῶν, τουτέστι τόν τε ἐπὶ δʹ καὶ τὸν ἐπὶ εʹ καὶ τὸν ἐπὶ Ϛʹ, ἐφήρμοσαν τοῖς ἡγουμένοις αὐτῶν λόγοις τοὺς δὲ λοιποὺς καὶ ἐλάττονας, τουτέστι τόν τε ἐπὶ ιεʹ καὶ τὸν ἐπὶ θʹ καὶ τὸν ἐπὶ ζʹ, τοῖς συναμφοτέροις τῶν λοιπῶν. γίνεται δὲ καὶ ἡ τούτων ἑκάστου διαίρεσις κατὰ τοὺς ἑπομένους δύο λόγους λαμβανομένων αὐτοῦ τῶν εἰς τρία τομῶν διὰ τὸ τοὺς τρεῖς λόγους ἤδη τοῦ τετραχόρδου τοὐντεῦθεν ἀποτελεῖσθαι, τῶν μὲν ὑπεροχῶν τηρουμένων ἴσων, τῶν δὲ λόγων παρίσων, ἐπεὶ μὴ δυνατὸν ἴσων. τοὺς μὲν γὰρ πρώτους ποιοῦντας ἀριθμοὺς τὸν ἐπὶ ιεʹ, λέγω δὲ τὸν ιεʹ καὶ τὸν ιϚʹ, τριπλασιάσαντες ἕξομεν τὸν μεʹ καὶ τὸν μηʹ, μέσους τε αὐτῶν ἐν ἴσαις ὑπεροχαῖς τὸν μϚʹ καὶ τὸν μζʹ: τοῦ δὴ μζʹ μὴ ποιοῦντος πρὸς ἀμφοτέρους τοὺς ἄκρους ἐπιμόριον λόγον, μόνου δὲ τοῦ μϚʹ πρὸς μὲν τὸν μηʹ τὸν ἐπὶ κγʹ, πρὸς δὲ τὸν μεʹ τὸν ἐπὶ μεʹ, ὁ μὲν μείζων καὶ ἐπὶ κγʹ διὰ τὰς ἐξαρχῆς ὑποθέσεις συναφθήσεται τῷ ἐπὶ δʹ, ὁ δὲ λοιπὸς καὶ ἐπὶ μεʹ τὸν ἑπόμενον συμπληρώσει λόγον. πάλιν τοὺς πρώτους ποιοῦντας ἀριθμοὺς τὸν ἐπὶ θʹ, τουτέστι τὸν θʹ καὶ τὸν ιʹ τριπλασιάσαντες ἕξομεν τὸν κζʹ καὶ τὸν λʹ, μέσους τε αὐτῶν ἐν ἴσαις ὑπεροχαῖς τὸν κηʹ καὶ τὸν κθʹ. ἀλλ’ ὁ μὲν κθʹ πρὸς ἀμφοτέρους τοὺς ἄκρους οὐ ποιεῖ λόγον ἐπιμόριον, ὁ δὲ κηʹ πρὸς μὲν τὸν λʹ τὸν ἐπὶ ιδʹ, πρὸς δὲ τὸν κζʹ τὸν ἐπὶ κζʹ, ὥστε κἀνταῦθα συνάπτεσθαι μὲν τῷ ἐπὶ εʹ τὸν ἐπὶ ιδʹ, ὑπολείπεσθαι δὲ κατὰ τὸν ἑπόμενον τόπον τὸν ἐπὶ κζʹ. ὁμοίως δὲ τοὺς ποιοῦντας τὸν ἐπὶ ζʹ λόγον πρώτους ἀριθμούς, τόν τε ζʹ καὶ τὸν ηʹ, τριπλασιάσαντες ἕξομεν τὸν καʹ καὶ τὸν κδʹ, μέσους τε αὐτῶν ἐν ἴσαις ὑπεροχαῖς τὸν κβʹ καὶ τὸν κγʹ, οὗ μὴ ποιοῦντος πρὸς ἀμφοτέρους τοὺς ἄκρους ἐπιμόριον λόγον, ἀλλὰ μόνου τοῦ κβʹ πρὸς μὲν τὸν κδʹ ἐπὶ ιαʹ, πρὸς δὲ τὸν καʹ ἐπὶ καʹ, συναφθήσεται μὲν κἀνταῦθα τῷ ἐπὶ Ϛʹ ὁ ἐπὶ ιαʹ, ὁ δὲ ἐπὶ καʹ τὸν ἑπόμενον ἐφέξει τόπον. κἀπειδὴ μαλακώτατον μέν ἐστι πάντων τῶν γενῶν τὸ ἐναρμόνιον, ὁδὸς δέ τις ὥσπερ ἐπὶ τὸ συντονώτερον ἀπ’ αὐτοῦ κατὰ παραύξησιν διὰ πρώτου τοῦ μαλακωτέρου χρώματος, ἔπειτα τοῦ συντονωτέρου πρὸς τὰ ἐφεξῆς τῶν ἀπύκνων καὶ διατονικῶν: μαλακώτερα δὲ φαίνεται καθόλου τὰ μείζονα τὸν ἡγούμενον ἔχοντα λόγον καὶ συντονώτερα τὰ ἐλάττονα. τὸ μὲν συντιθέμενον τετράχορδον ἐκ τοῦ ἐπὶ δʹ καὶ ἐπὶ κγʹ καὶ ἐπὶ μεʹ προσήψαμεν τῷ ἐναρμονίῳ γένει, τὸ δὲ συντιθέμενον ἐκ τοῦ ἐπὶ εʹ καὶ ἐπὶ ιδʹ καὶ ἐπὶ κζʹ τῷ μαλακωτέρῳ τῶν χρωματικῶν, τὸ δὲ συντιθέμενον ἐκ τοῦ ἐπὶ Ϛʹ καὶ ἐπὶ ιαʹ καὶ ἐπὶ καʹ τῷ συντονωτέρῳ τῶν χρωματικῶν. περιέχουσι δὲ ἀριθμοὶ πρῶτοι καὶ ταῦτα τὰ τρία τετράχορδα κοινοὶ μὲν τῶν ἄκρων ὅ τε τῶν Μ<ι> ͵Ϛσξʹ καὶ ὁ τῶν <Μ><ιδ> ͵αχπʹ: ἴδιοι δὲ τῶν μὲν δευτέρων ἀπὸ τῶν ἡγουμένων ὅ τε τῶν <Μ><ιγ> ͵βωκεʹ καὶ ὁ τῶν <Μ><ιβ> ͵ζφιβʹ καὶ ὁ τῶν <Μ><ιγ> ͵γϠοʹ: τῶν δὲ τρίτων ὅ τε τῶν <Μ><ιγ> ͵ηχʹ καὶ ὁ τῶν <Μ><ιγ> ͵Ϛχκʹ καὶ ὁ τῶν <Μ><ιγ> ͵εσμʹ: ὡς ἔχουσιν αἱ καταγραφαί. Ἐπὶ δὲ τῶν ἀπύκνων γενῶν ἀκολούθου τοῖς προδιωρισμένοις ὄντος τοῦ τοὺς μὲν ἐλάττονας τῶν ἐκ τῆς πρώτης καὶ εἰς δύο διαιρέσεως τοῦ ἐπιτρίτου λόγων ἀνάπαλιν ἐπὶ τῶν ἡγουμένων τιθέναι τόπων, τοὺς δὲ μείζονας τῶν συζυγούντων αὐτοῖς καταδιαιρεῖν τὸν αὐτὸν τρόπον εἰς τοὺς δύο τοὺς ἑπομένους, ὁ μὲν ἐπὶ ιεʹ οὐχ εὑρίσκεται δυνατὸς ὢν τὸν ἡγούμενον ἐπισχεῖν τόπον. ἐὰν γὰρ τοὺς ποιοῦντας ἀριθμοὺς τὸν λοιπὸν καὶ ἐπὶ δʹ, τουτέστι τὸν δʹ καὶ τὸν εʹ τριπλασιάσωμεν πάλιν, ἵνα ποιήσωσι τὸν ιβʹ καὶ τὸν ιεʹ, καὶ μέσοι πέσωσι κατ' ἴσας ὑπεροχὰς ὅ τε ιγʹ καὶ ὁ ιδʹ, ὁ μὲν ιγʹ πρὸς ἀμφοτέρους τοὺς ἄκρους οὐ ποιήσει λόγον ἐπιμόριον, ὁ δὲ ιδʹ πρὸς μὲν τὸν ιβʹ ἐπὶ Ϛʹ, πρὸς δὲ τὸν ιεʹ ἐπὶ ιδʹ, ὧν οὐδέτερον ἐγχωρήσει τιθέναι κατὰ τὸν ἑπόμενον τόπον, μείζονα ἐσόμενον τοῦ κατὰ τὸν ἡγούμενον, τουτέστι τοῦ ἐπὶ ιεʹ παρά τε τὴν ἐνάργειαν αὐτὴν καὶ τὸν ἐξαρχῆς λόγον. τοῦ δὲ ἐπὶ ζʹ τασσομένου κατὰ τὸν ἡγούμενον τόπον, οἱ τὸν λοιπὸν καὶ ἐπὶ Ϛʹ περιέχοντες ἀριθμοὶ πρῶτοι, ὅ τε Ϛʹ καὶ ὁ ζʹ, τριπλασιασθέντες ὁμοίως ποιήσουσι τὸν ιηʹ καὶ τὸν καʹ, μέσων ἐν ἴσαις ὑπεροχαῖς λαμβανομένων τοῦ τε ιθʹ καὶ τοῦ κʹ. οἱ μὲν οὖν ιθʹ πάλιν οὐ ποιήσει πρὸς ἀμφοτέρους τοὺς ἄκρους ἐπιμόριον λόγον, ὁ δὲ κʹ πρὸς μὲν τὸν ιηʹ ἐπὶ θʹ, πρὸς δὲ τὸν καʹ ἐπὶ κʹ, ὧν ὁμοίως ὁ μὲν μείζων καὶ ἐπὶ θʹ συναφθήσεται τῷ ἐπὶ ζʹ, ὁ δὲ ἐλάττων καὶ ἐπὶ κʹ τὸν ἑπόμενον συμπληρώσει λόγον. κατὰ ταὐτὰ δὲ καὶ τοῦ ἐπὶ θʹ τασσομένου κατὰ τὸν ἡγούμενον τόπον, ἐὰν οἱ τὸν λοιπὸν καὶ ἐπὶ εʹ περιέχοντες ἀριθμοί, ὁ εʹ καὶ ὁ Ϛʹ, τριπλασιασθέντες ποιήσωσι τὸν ιεʹ καὶ τὸν ιηʹ, μέσων ἐν ἴσαις ὑπεροχαῖς πιπτόντων τοῦ τε ιϚʹ καὶ τοῦ ιζʹ. ὁ μὲν ιζʹ πρὸς ἀμφοτέρους τοὺς ἄκρους οὐ ποιήσει λόγον ἐπιμόριον, ὁ δὲ ιϚʹ πρὸς μὲν τὸν ιηʹ ἐπὶ ηʹ, πρὸς δὲ τὸν ιεʹ ἐπὶ ιεʹ, ὥστε τὸν μὲν μείζονα καὶ ἐπὶ ηʹ συνάπτεσθαι τῷ ἐπὶ θʹ, τὸν δὲ λοιπὸν καὶ ἐπὶ ιεʹ ἐφαρμόζειν τῷ ἑπομένῳ τόπῳ. ἀλλὰ πρὸ τούτων πάντων τῶν λόγων ὁ ἐπὶ ηʹ εὕρηται καθ' αὑτὸν περιέχων τὸν τόνον ἐκ τῆς ὑπεροχῆς τῶν δύο πρώτων συμφωνιῶν, οὗ κατὰ τὸ εὔλογόν τε καὶ ἀναγκαῖον ὀφείλοντος καὶ τὸν ἡγούμενον ἐπισχεῖν τόπον τῶν ἔγγιστα πρὸς αὐτὸν συναπτομένων, διὰ τὸ μηδένα τῶν ἐπιμορίων συμπληροῦν μετ' αὐτοῦ τὸν ἐπίτριτον. ὁ μὲν ἐπὶ θʹ φθάνει συνημμένος αὐτῷ κατὰ τὴν προεκτεθειμένην διαίρεσιν, ὁ δὲ ἐπὶ ζʹ οὐκέτι. διὸ τοῦτον μὲν ἐπὶ τοῦ μέσου τόπου συνάψομεν αὐτῷ, τὸν δὲ λοιπὸν εἰς τὸν ἐπίτριτον, τουτέστι τὸν ἐπὶ κζʹ, ἀποδώσομεν τῷ ἑπομένῳ τόπῳ. κἀνταῦθα δὴ πάλιν ἀκολούθως τῷ μεγέθει τῶν ἡγουμένων λόγων τὸ μὲν συντιθέμενον τετράχορδον ἔκ τε τοῦ ἐπὶ ζʹ καὶ τοῦ ἐπὶ θʹ καὶ τοῦ ἐπὶ κʹ προσάψομεν τῷ μαλακῷ διατονικῷ, τὸ δὲ συντιθέμενον ἔκ τε τοῦ ἐπὶ θʹ καὶ τοῦ ἐπὶ ηʹ καὶ τοῦ ἐπὶ ιεʹ τῷ συντόνῳ διατονικῷ, τὸ δὲ συντιθέμενον ἔκ τε τοῦ ἐπὶ ηʹ καὶ τοῦ ἐπὶ ζʹ καὶ τοῦ ἐπὶ κζʹ τῷ μεταξύ πως τοῦ μαλακοῦ καὶ τοῦ συντόνου, κληθέντι δ' ἂν εὐλόγως τονιαίῳ διὰ τὸ τηλικοῦτον εἶναι τὸν ἡγούμενον αὐτοῦ τόπον. περιέχουσι δὲ καὶ ταῦτα τὰ τρία τετράχορδα πρῶτοι ἀριθμοὶ κοινοὶ μὲν τῶν ἄκρων ὅ τε τῶν φδʹ καὶ ὁ τῶν χοβʹ, ἴδιοι δὲ τῶν μὲν δευτέρων ἀπὸ τῶν ἡγουμένων ὅ τε τῶν φοϚʹ καὶ ὁ τῶν φξζʹ καὶ ὁ τῶν φξʹ, τῶν δὲ τρίτων ὅ τε τῶν χμʹ καὶ ὁ τῶν χμηʹ καὶ ὁ τῶν χλʹ. ὡς ἔχουσιν αἱ καταγραφαί. Ὅτι δὲ οὐ τὸ εὔλογον ἔχουσι μόνον αἱ προκείμεναι τῶν γενῶν διαιρέσεις, ἀλλὰ καὶ τὸ ταῖς αἰσθήσεσιν σύμφωνον, ἐξέσται πάλιν κατανοεῖν ἀπὸ τοῦ διὰ πασῶν περιέχοντος ὀκταχόρδου κανόνος, ἀκριβουμένων τῶν φθόγγων, ὡς εἴπομεν, κατά τε τὰς ὁμαλότητας τῶν χορδῶν καὶ τὰς ἰσοτονίας. ταῖς γὰρ γινομέναις τῶν παρατιθεμένων κανονίων κατατομαῖς ἀκολούθως τοῖς ἐφ' ἑκάστου γένους λόγοις συναποκαθισταμένων τῶν ὑπαγομένων μαγαδίων, οὕτως ἔσται τὸ διὰ πασῶν ἡρμοσμένον, ὡς μηδ' ἂν τὸ τυχὸν ἔτι παρακινῆσαι τοὺς μουσικωτάτους, ἀλλὰ θαυμάσαιμεν κἀν τῇ περὶ τὸ ἡρμοσμένον συντάξει τὴν φύσιν, τοῦ μὲν κατ' αὐτὴν λόγου πλάττοντος ὥσπερ καὶ διαμορφοῦντος τὰς σωστικὰς τοῦ μέλους διαφοράς, τῆς δὲ ἀκοῆς πειθαρχούσης, ὡς ἔνι μάλιστα, τῷ λόγῳ παρὰ γοῦν τὴν ἐξ αὐτοῦ τάξιν οὕτως διακειμένης καὶ τὸ οἰκεῖον ἐν ἑκάσταις τῶν προσφόρων ἐπιγινωσκούσης, τῶν δὲ προστάντων τοῦ τοιούτου μέρους καταγνῶναι, μήτε δι' αὐτῶν ταῖς εὐλόγοις διαιρέσεσιν ἐπιβαλεῖν δυνηθέντων, μήτε τὰς ὑπὸ τῆς αἰσθήσεως ἐμφανιζομένας ἀνευρεῖν ἀξιωσάντων.

1.15.title1.16.title